Якщо матриця має різні комплексні власні значення, то вона також діагоналізована, але це схоже на діагональну матрицю зі складними елементами. Геометрична інтерпретація такої матриці – тонке питання, яке детально розглядається в повній версії книги.
Кожна n×n матриця має рівно n комплексних власних значень, підрахованих з кратністю. Ми можемо обчислити відповідний (комплексний) власний вектор точно так само, як і раніше: скорочуючи рядок матриці A−λIn. Тепер, однак, ми повинні виконувати арифметику з комплексними числами.
Власні значення діагональної матриці дорівнюють значенням на її діагоналі. Власні значення трикутної матриці дорівнюють значенням на її діагоналі. Наслідок 9. Якщо A ∈ Rm×m має дійсне значення, то деякі або всі його власні значення можуть мати комплексне значення.
Матриця A розміром n × n є діагоналізованою тоді і тільки тоді, коли A має n лінійно незалежних власних векторів. Якщо так, ці власні вектори утворюють базис Rn, і цей базис називається базисом власного вектора. Теорема 6 Матриця n × n із n різними власними значеннями є діагоналізованою.
Це дуже легко побачити; нагадаємо, що якщо власне значення є комплексним, його власні вектори, як правило, будуть векторами з комплексними елементами (тобто вектори в Cn, а не в Rn). Якщо λ ∈ C є комплексним власним значенням A з відмінним від нуля власним вектором v ∈ Cn, за визначенням це означає: Av = λv, v 6= 0. власний вектор. 1 − i ¸ ;t ∈ C}.