Скінченні множини — це множини, які мають фіксовану кількість елементів, зліченні та можуть бути записані у формі списку. Нескінченна множина – це множина, яка не є скінченною, нескінченні множини можуть бути чи не підраховуватися. Це основна відмінність між кінцевими множинами та нескінченними множинами.
Іншими словами, можна підрахувати всі елементи в наборі таким чином, що, навіть якщо підрахунок триватиме вічно, ви дійдете до будь-якого конкретного елемента за кінцевий проміжок часу. Наприклад, множина цілих чисел {0,1,−1,2,−2,3,−3,…} явно нескінченна.
Нескінченна множина, яку можна поставити у взаємно однозначну відповідність з N, є зліченно нескінченною. Скінченні множини і зліченно нескінченні називаються зліченними. Нескінченна множина, яка не може бути поставлена у взаємно однозначну відповідність з N, незліченно нескінченна.
Ми говоримо, що множина A зліченно нескінченна якщо N≈A, тобто A має ту саму потужність, що й натуральні числа. Ми говоримо, що A є зліченною, якщо вона скінченна або нескінченна.
Кінцеві множини мають визначену кількість компонентів, їх можна порахувати та виразити у формі списку. Нескінченна множина — нескінченна множина; нескінченні множини можуть бути або не бути рахунковими. Це фундаментальна відмінність між скінченними та нескінченними множинами. Нескінченна множина – це множина, у якій немає елементів, які можна перерахувати.
Георг Кантор показав, що не всі нескінченні множини є зліченно нескінченними. Наприклад, дійсні числа не можна поставити у взаємну відповідність натуральним числам (цілим невід’ємним числам). Множина дійсних чисел має більшу потужність, ніж множина натуральних чисел, і називається незліченною.