Топологічний простір є локально компактним якщо кожна точка має базу околиць, що складається з компактних підпросторів. Це означає, що для кожної точки x ∈ X кожна відкрита околиця U x ⊃ { x } містить компактну околицю K x ⊂ U x .
Означення 2.3. Топологічний простір (X,T ) називається компактним якщо кожне відкрите покриття X має скінченне підпокриття. Ми часто називатимемо підмножини топологічних просторів компактними, і в такому випадку ми технічно називаємо підмножину топологічним простором із його підпросторовою топологією.
У топологічному просторі (S,Ω) околиця точки p визначається як множина, яка містить точку p разом з деякою відкритою множиною, яка містить p. У формулах: N є околицею p, якщо існує U ∈ Ω таке, що p ∈ U ⊂ N.
У математиці компактно-відкрита топологія – це топологія, визначена на множині неперервних відображень між двома топологічними просторами. Компактно-відкрита топологія є однією з широко використовуваних топологій у функціональних просторах і застосовується в гомотопічній теорії та функціональному аналізі. Він був представлений Ральфом Фоксом у 1945 році.
Евклідові простори R n (і зокрема дійсна пряма R) є локально компактними як наслідок теореми Гейне–Бореля. Топологічні різноманіття мають локальні властивості евклідових просторів і, отже, всі локально компактні. Сюди входять навіть непаракомпактні різноманіття, такі як довга лінія.